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SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS SEGUN EL CUADRANTE

En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje x, así que lo denominaremos "x"; al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje y, lo llamaremos "y". La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia, la designaremos "r".

PRIMER CUADRANTE:

Ya que "x", "y", "r", son positivas, entonces, Todas las funciones trigonométricas en el primer cuadrante son positivas.

sen	cosec	tg	cotg	cos	sec
+	+	+	+	+	+

En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el ele positivo de las y . El radio (la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los cuadrantes. Por lo tanto: el coseno, la tangente y sus inversas (secante y cotangente) tienen resultados negativos.

sen	cosec	tg	cotg	cos	sec
+	+	-	-	-	-

En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus signos negativos, ya que caen sobre la parte negativa de los ejes. En este caso la tangente (y su inversa, la cotangente) resultan positivas (- : - = +)

sen	cosec	tg	cotg	cos	sec
-	-	+	+	-	-

En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En este caso, las únicas funciones cuyo resultado será positivo son el coseno y la secante.

sen	cosec	tg	cotg	cos	sec
-	-	-	-	+	+

Resumamos los signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante en tres cuadros sinópticos:

cuadrantes
II	I
III	IV

sen - cosec
+	+
-	-

cos - sec
-	+
-	+

tg - cotg
-	+
+	-

08/09/07 · 40 comentarios · Autor: trigo07 · Más sobre: trigonometria

Sistema circular medicion angulos sistema medicion

Sistema Circular de Medición de Ángulos:

El sistema de medición de ángulos que solemos utilizar es el sexagesimal, divide a la circunferencia en seis partes de 60º cada una, obteniendo un giro completo de 360º. Cuando se quiso utilizar este sistema en física, para poder calcular el camino desarrollado por alguna partícula en trayectoria circular, se encontraron que el sistema sexagecimal no los ayudaba pues, matemáticamente, no está relacionado con el arco que describe el cuerpo al moverse. De esa manera se "inventó" otro sistema angular, el sistema circular, donde la medida del ángulo se obtiene al dividir el arco y el radio de la circunferencia. En este sistema un ángulo llano (al dividir el arco por el radio) mide 3,14 (que es el valor aproximado de "p"). De esa manera un giro completo (que es lo mismo que dos ángulos llanos) mide 2p.

180º = p ó 360º = 2p

En este caso la circunferencia queda dividida en cuatro partes iguales de 90º (^p/₂) cada una, que va desde 0º hasta 360º (2p), a las que se denomina cuadrantes:

1^er cuadrante: 0º a 90º

2^do cuadrante: 90º a 180º

3 ^er cuadrante: 180º a 270º

4^to cuadrante: 270 a 360º

08/09/07 · 0 comentarios · Autor: trigo07 · Más sobre: trigonometria

IMAGENES DE FUNCIONES

FUNCION SENO:

a	sen a
0	0
45	0,71
90	1
135	0,71
180	0
225	- 0,71
270	-1
315	- 0,71
360	0

FUNCION COSENO:

a	cos a
0	1
45	0,71
90	0
135	-0,71
180	-1
225	0,71
270	0
315	0,71
360	1

FUNCION TANGENTE:

a	tg a
0	0
45	1
90	////
135	- 1
180	0
225	1
270	////
315	- 1
360	0

//// significa que no se puede calcular el valor de la función, el resultado no existe (asíntota).

FUNCION SECANTE:

a	sec a
0	1
45	1,41
90	////
135	-1,41
180	-1
225	1,41
270	////
315	1,41
360	1

FUNCION COSCANTE:

a	Cosec a
0	////
45	1,41
90	1
135	1,41
180	////
225	- 1,41
270	-1
315	- 1,41
360	////

FUNCION COTANGENTE:

a	Cotg a
0	////
45	- 1
90	0
135	1
180	////
225	- 1
270	0
315	////
360	- 1

08/09/07 · 0 comentarios · Autor: trigo07 · Más sobre: trigonometria

INTRODUCCION

INTRODUCION

Las funciones trigonometricas son valores sin unidades que dependen de la magnitud de un ángulo. Se dice que un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está en su posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x.
En la figura 3, el punto P está situado en una línea recta que pasa por el origen y que forma un ángulo q con la parte positiva del eje x. Las coordenadas x e y pueden ser positivas o negativas según el cuadrante (I, II, III, IV) en que se encuentre el punto P; x será cero si el punto P está en el eje y o y será cero si P está en el eje x. La distancia r entre el punto y el origen es siempre positiva e igual a x2+ y2, aplicando el teorema de Pitágoras.

Las seis funciones trigonometricas más utilizadas se definen de la siguiente manera:

Como la x y la y son iguales si se añaden 2p radianes al ángulo —es decir, si se añaden 360°— es evidente que sen (q + 2p) = sen q. Lo mismo ocurre con las otras cinco funciones. Dadas sus respectivas definiciones, tres funciones son las inversas de las otras tres, es decir,

Si el punto P, de la definición de función trigonométrica, se encuentra en el eje y, la x es cero; por tanto, puesto que la división por cero no está definida en el conjunto de los números reales, la tangente y la secante de esos ángulos, como 90°, 270° y -270° no están definidas. Si el punto P está en el eje x, la y es 0; en este caso, la cotangente y la cosecante de esos ángulos, como 0°, 180° y -180° tampoco está definida. Todos los ángulos tienen seno y coseno, pues r no puede ser igual a 0.
Como r es siempre mayor o igual que la x o la y, los valores del sen q y cos q varían entre -1 y +1. La tg q y la cotg q son ilimitadas, y pueden tener cualquier valor real. La sec q y la cosec q pueden ser mayor o igual que +1 o menor o igual que -1.
Como se ha podido ver en los anteriores apartados, el valor de las funciones trigonométricas no depende de la longitud de r, pues las proporciones son sólo función del ángulo.
Si q es uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo (figura 4), las definiciones de las funciones trigonométricas dadas más arriba se pueden aplicar a q como se explica a continuación. Si el vértice A estuviera situado en la intersección de los ejes x e y de la figura 3, si AC descansara sobre la parte positiva del eje x y si B es el punto P de manera que AB = AP = r, entonces el sen q = y/r = a/c, y así sucesivamente:

Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de ciertos ángulos se pueden obtener con facilidad. Por ejemplo, en un triángulo rectángulo isósceles, se tiene que q = 45 ° y que b = a, y además se sabe, por el Teorema de Pitágoras, que c2= b2+ a2. De aquí se deduce que c2= 2a2 o que c = a¶2. Por tanto

Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera se pueden hallar de forma aproximada
dibujando el ángulo en su posición normal utilizando la regla, el compás y el transportador de ángulos. Si se miden x, y y r es fácil calcular las proporciones deseadas. En realidad, basta con calcular los valores del sen q y del cos q para unos cuantos ángulos específicos, pues los valores de los demás ángulos y las demás funciones se calculan utilizando las igualdades que se mencionan en el siguiente apartado.
Las razones trigonométricas se pueden utilizar, fundamentalmente, para resolver triángulos, así como para resolver diferentes situaciones problemáticas en otras ciencias.
En topografía se puede determinar la altura de un edificio, teniendo la base y el ángulo. Por ejemplo, la torre de Pisa, fue construida sobre una base de arena poco consistente; debido a ello ésta se aparta cada vez más de su vertical. Originalmente tenía una altura de 54,6m, aproximadamente. En 1990 un observador situado a 46 m del centro de la base de la torre, determinó un ángulo de elevación de 54º a la punta de la torre, el observador para determinar al desplazamiento (hundimiento en el suelo es muy pequeño, comparado con la altura de la torre) aplicó la ley del seno para determinar el ángulo de inclinación y la ley del coseno para determinar el desplazamiento de la torre.

En óptica, en las dispersiones en prisma o cuando un rayo de luz atraviesa una placa de cierto material.
En la Aviación, si dos aviones parten de una base aérea a la misma velocidad formando un ángulo y siguiendo en trayectorias rectas, se puede determinar la distancia quese encuentran entre los mismos.
El capitán de un barco puede determinar el rumbo equivocado del barco, siempre en línea recta, ordenando modificar el rumbo en grado para dirigirse directamente al punto destino correcto.

03/09/07 · 0 comentarios · Autor: trigo07 · Más sobre: trigonometria

SENTIDO DE LAS FUNCIONES

SENTIDO DE LAS FUNCIONES
Dados los ejes de cordenadas cartesianas xy, de centro O, y un círculo con centro en O y radio 1; el punto de corte de la circunferencia con el lado positivo de las x, lo señalamos como punto B.
La recta r, que pasa por O y forma un ángulo a sobre el eje de las x, corta a la circunferencia en el punto C, la vertical que pasa por C, corta al eje x en A, la vertical que pasa por B corta a la recta r en el punto D.
Porsemejanza de triangulos:
$\frac{\; \overline{AC} \;}{\overline{OA}} = \frac{\; \overline{BD} \;}{\overline{OB}}$
Ladistancia $\overline{OB}$ , es el radio de la circunferencia, en este caso al ser una circunferencia de radio = 1, y dadas las definiciones de las funciones trigonométricas:

$\operatorname{sen}(a)= \overline{AC} \,$
$\cos(a)= \overline{OA} \,$
$\tan(a)= \overline{BD} \,$

tenemos:

$\frac{\operatorname{sen}(a)}{ \cos(a)} = \frac{\tan(a)}{1}$

La tangente es la relación del seno entre el coseno, según la definición ya expuesta.
PRIMER CUADRANTE
Partiendo de esta representación geométrica de las funciones trigonométricas, podemos ver las variaciones de las funciones a medida que aumenta el ángulo a.
Para a = 0, tenemos que A, C, y D coinciden en B, por tanto:

$\operatorname{sen}(0)= 0 \,$
$\cos(0)= 1 \,$
$\tan(0)= 0 \,$

Si aumentamos progresivamente el valor de a, las distancias AC y BD aumentaran progresivamente, mientras que OA disminuirá, percatarse que OA y AC están limitados por la circunferencia y por tanto su máximo valor absoluto será 1, pero BD no está limitado, dado que D es el punto de corte de la recta r que pasa por O, y la vertical que pasa por B, en el momento en el que el ángulo a sea 0,5 $π$ rad, la recta r será la vertical que pasa por O. Dos rectas verticales no se cortan, o lo que es lo mismo la distancia BD será infinita, la tangente toma valor infinito cuando a= 0,5 $π$ rad, el seno vale 1 y el coseno 0.

SEGUNDO CUADRTANTE
Cuando el ángulo a supera elangulo recto, el valor del seno empieza a disminuir según el segmento AC, el coseno aumenta según el segmento OA, pero en el sentido negativo de las x, el valor del coseno toma sentido negativo, si bien su valor absoluto aumenta cuando el ángulo sigue creciendo.
La tangente para un ángulo a inferior a 0,5 $π$ rad se hace infinita en el sentido positivo de las y, para el ángulo recto la recta vertical r que pasa por O y la vertical que pasa por B no se cortan, por lo tanto la tangente no toma ningún valor real, cuando el ángulo supera los 0,5 $π$ rad y pasa al segundo cuadrante la prolongación de r corta a la vertical que pasa por B en un punto B real, en el lado negativo de las y, la tangente por tanto toma valor negativo, y su valor absoluto disminuye a medida que el ángulo a aumenta progresivamente hasta los $π$ rad.
Resumiendo: en el segundo cuadrante el seno de a, disminuye progresivamente su valor desde 1, que toma para a= 0,5 $π$ rad, hasta que valga 0, para a= $π$ rad, el coseno, toma valor negativo y su valor varia desde 0 para a= 0,5 $π$ rad, hasta –1, para a= $π$ rad.
La tangente conserva la relación:

$\tan(a) = \frac{\operatorname{sen}(a)} {\cos(a)}$

incluyendo el signo de estos valores.

TERCER CUADRANTE
En el tercer cuadrante, comprendido entre los valores del ángulo a de $π$ rad a 1,5 $π$ rad, se produce un cambio de los valores del seno el coseno y la tangente, desde los que toman para $π$ rad:

$\operatorname{sen}( \pi ) = 0 \,$
$\cos( \pi ) = -1 \,$
$\tan( \pi ) = 0 \,$

Cuando el ángulo a aumenta progresivamente, el seno aumenta en valor absoluto en el sentido negativo de las y, el coseno disminuye en valor absoluto en el lado negativo de las x, y la tangente aumenta del mismo modo que lo hacia en el primer cuadrante.
A medida que el ángulo crece el punto A se acerca a O, y el segmento OA, el coseno se hace más pequeño en el lado negativo de las x, el punto C, intersección de la circunferencia y la vertical que pasa por A, se aleja del eje de las x, en el sentido negativo de las y, el seno, y el punto D, intersección de la prolongación de la recta r y la vertical que pasa por B, se aleja del eje las x en el sentido positivo de las y, la tangente.
Cuando el ángulo a alcance 1,5 $π$ rad, el punto A coincide con O y el coseno valdrá cero, el segmento OC será igual al radio de la circunferencia, en el lado negativo de las y, y el seno valdrá –1, la recta r del ángulo y la vertical que pasa por B serán paralelas y la tangente tomara valor infinito por el lado positivo de las y.
El seno el coseno y la tangente siguen conservando la misma relación, tanto en valores como en signo, nótese que cuando el coseno vale cero, la tangente se hace infinito.

CUARTO CUADRANTE
En el cuarto cuadrante, que comprende los valores del ángulo a entre 1,5 $π$ rad y 2 $π$ rad, las variables trigonométricas varían desde los valores que toman para 1,5 $π$ rad:

$\operatorname{sen}(1,5 \, \pi ) = -1 \,$
$\cos(1,5 \, \pi ) = 0 \,$
$\tan(1,5 \, \pi ) = \infty \,$

hasta los que toman para 2 $π$ rad pasando al primer cuadrante, completando una rotación:

$\operatorname{sen}(2 \, \pi ) = \sin(0) = 0 \,$
$\cos(2 \, \pi ) = \cos(0) = 1 \,$
$\tan(2 \, \pi ) = \tan(0) = 0 \,$

como puede verse a medida que el ángulo a, también aumenta el coseno en el lado positivo de las x, el seno disminuye en el lado negativo de las y, y la tangente también disminuye en el lado negativo de las y.
Cuando a, vale 2 $π$ o 0 $π$ al completar una rotación completa los puntos A, B y C, coinciden en D, haciendo que el seno y la tangente valga cero, y el coseno uno, del mismo modo que al comenzarse el primer cuadrante.

31/08/07 · 0 comentarios · Autor: trigo07 ·

VALOR DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:

Radián	Ángulo	sen	cos	tan	csc	sec	ctg
$0 \;$	$0^o \,$	$\frac{\sqrt{0}}{2}=0$	$\frac{\sqrt{4}}{2}=1$	$0 \,$	$\infty$	$1 \,$	$\infty$
$\frac{\pi}{6}$	$30^o \,$	$\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$2 \,$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$
$\frac{\pi}{4}$	$45^o \,$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1 \,$	$\sqrt{2}$	$\sqrt{2}$	$1 \,$
$\frac{\pi}{3}$	$60^o \,$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$2 \,$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\frac{\pi}{2}$	$90^o \,$	$\frac{\sqrt{4}}{2}=1$	$\frac{\sqrt{0}}{2}=0$	$\infty$	$1 \,$	$\infty$	$0 \,$